Question

11．如图，是边长为1的小正方形组成的网格图，图中线与线的交点叫做格点．A、B都是格点，l是网格图中的一条直线．
（1）在l上描出点C使得AC=5；
（2）在l上描出一点P使得PA+PB最小，说明你的理由，并求出这个最小值；
（3）在l上描出一点Q使得QA-QB最大．（说明：找出Q点即可，并简单说明作法）．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理可求得点C的位置；
（2）根据轴对称-最短路径问题即可求得答案；
（3）由三角形的两边之差小于第三条边即可判断．

解答 解：如图所示：

（1）∵AD=3，DC=4，
∴由勾股定理可知：AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．
（2）作点B关于l的对称点B′，连接AB′，交l于点P．
∵点B与点B′关于l对称，
∴PB=PB′．
∴PA+PB=PA+PB′．
由两点之间线段最短可知：当点A、P、B′在一条直线上时，PA+PB有最小值．
由勾股定理可知：AB′=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∴PA+PB的最小值为5．
（3）延长AB交l于点Q．
由三角形的两边之差小于第三边可知：当A、B、Q在一条直线上时，AB有最大值．

点评 本题主要考查的是勾股定理的应用、轴对称-路径最短问题、三角形的三边关系，明确当点A、P、B′在一条直线上时，PA+PB有最小值；当A、B、Q在一条直线上时，AB有最大值是解题的关键．