Question

6．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，过点O作OD⊥AB于点D，延长DO交⊙O于点P，过点P作PE⊥AC于点E，作射线ED交CB的延长线于F点，连接PF．
（1）求证：OD=OE；
（2）求证：PF是⊙O的切线；
（3）若∠POC=120°，AC=12，将扇形POA围成一个圆锥的侧面，求该圆锥的高．

Answer 1

分析 （1）通过全等三角形△OAD≌△OPE的对应边相等证得结论；
（2）欲证明PF是⊙O的切线，只需推知OP⊥PF即可；
（3）易得∠POA=60°，设所求圆锥的高h，底面半径为r，结合弧长公式和圆锥的侧面展开图进行解答．

解答 证明：（1）∵OD⊥BA于D，PE⊥AC于E，OA=OP，
∴在Rt△OAD和Rt△OPE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADO=∠PEO}\\{∠AOD=∠POE}\\{OA=OP}\end{array}\right.$，
∴△OAD≌△OPE，
∴OD=OE．

（2）由（1）得OD=OE，
∴∠ODE=∠OED，又AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，AB⊥BC，
∵OD⊥BC，
∴CB∥OD，
∴∠ODE=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，从而CE=CF，
连接CP，则∠FCP=∠ACP，
∴CP是线段EF的垂直平分线，
∴PE=PF，
∴△CPE≌△CPF，
∴∠CFP=∠CEP=90°，
∴四边形BDPF是矩形，
∴OP⊥PF，
∴PF是⊙O的切线．
（3）若∠COP=120°，AC=12，则∠POA=60°，
设所求圆锥的高h，底面半径为r，由 $\frac{60π•6}{180}$=2πr，r=1，h=$\sqrt{{6}^{2}-{1}^{1}}$=$\sqrt{35}$．

点评 本题考查了切线的判定与性质、吹径定理以及圆锥的计算等知识点．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．