Question

19．解方程x⁴-6x²+5=0这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，我们通常可以这样来解：设x²=y，那么x⁴=y²，于是原方程可变为y²-6y+5=0…①，解这个方程得：y₁=1，y₂=5．当y=1时，x²=1，∴x=±1；当y=5时，x²=5，∴x=±$\sqrt{5}$．所以原方程有四个根：x₁=1，x₂=-1，x₃=$\sqrt{5}$，x₄=-$\sqrt{5}$．
（1）这一解法在由原方程得到方程①的过程中，利用了换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（2）参照上面解题的思想方法解方程：（$\frac{x}{{x}^{2}-1}$）²-$\frac{5x}{{x}^{2}-1}$+6=0．

Answer 1

分析 （1）用一个字母表示一个较复杂的代数式的方法叫换元法．
（2）用y代替$\frac{x}{{x}^{2}-1}$，然后解关于y的一元二次方程，求得y的值后，再来求关于x的分式方程，注意要验根．

解答 解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
故答案是：换元；转化；

（2）设y=$\frac{x}{{x}^{2}-1}$，则由原方程得到：y²-5y+6=0，
整理，得
（y-3）（y-2）=0，
解得y=3或y=2．
当y=3时，$\frac{x}{{x}^{2}-1}$=3，即3x²-x-3=0，则x=$\frac{1±\sqrt{37}}{6}$，解得x₁=$\frac{1+\sqrt{37}}{6}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{37}}{6}$，
经检验，它们都是原方程的根；
当y=2时，$\frac{x}{{x}^{2}-1}$=2，即2x²-x-2=0，则x=$\frac{1±\sqrt{17}}{4}$，解得x₃=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，x₄=$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$，
经检验，它们都是原方程的根；
综上所述，原方程的根为：x₁=$\frac{1+\sqrt{37}}{6}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{37}}{6}$，x₃=$\frac{1+\sqrt{17}}{4}$，x₄=$\frac{1-\sqrt{17}}{4}$．

点评 本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．