Question

17．如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P，Q两点都停止运动，设点P的运动时间为t（s）．解答下列问题：
（1）当t为何值时，PQ∥AC？
（2）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，由PQ∥AC，得到△BPQ∽△BAC，根据相似三角形的性质得到$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，列方程即可得到结论；
（2）根据等边三角形的性质可以知道这个直角三角形∠B=60°，所以就可以表示出BQ与PB的关系，要分情况进行讨论：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°．然后在直角三角形BQP中根据BP，BQ的表达式和∠B的度数进行求解即可．

解答 解：（1）根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC，
∴$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，
即$\frac{3-t}{3}=\frac{t}{3}$，
解得：t=$\frac{3}{2}$，
∴当t=$\frac{3}{2}$时，PQ∥AC；

（2）根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，
在△ABC中，∵AB=BC=3cm，∠B=60°，
∴BP=（3-t）cm，
在△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，
①当∠BQP=90°时，BQ=$\frac{1}{2}$BP，
即t=$\frac{1}{2}$（3-t），t=1（秒），
②当∠BPQ=90°时，BP=$\frac{1}{2}$BQ，
即3-t=$\frac{1}{2}$t，t=2（秒）．
综上所述：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的判定，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．