Question

15．某旅客携带x（公斤）的行李乘飞机，登机前，旅客可选择托运或快递行李，托运费y₁（元）与行李质量x（公斤）的对应关系由如图所示的一次函数图象确定，下表列出了快递费y₂（元）与行李质量x（公斤）的对应关系，

行李的质量x（公斤）	快递费
不超过1公斤	10元
超过1公斤但不超过5公斤的部分	3元/公斤
超过5公斤但不超过15公斤的部分	5元/公斤

（1）如果旅客选择托运，求可携带的免费行李的最大质量为多少公斤？
（2）如果旅客选择快递，当1≤x≤15时，求快递费y₂（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式；
（3）某旅客携带25公斤的行李，设托运m（公斤）行李（10≤m＜24，m为正整数），剩下的行李选择快递，m为何值时，总费用y的值最小，总费用的最小值是多少？

Answer 1

分析 （1）观察图象找出两点的坐标，利用待定系数法可求出托运费y₁（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式，将y₁=0代入函数关系式中即可得出结论；
（2）根据表格中的数据，分x=1、1＜x≤5、5＜x≤15三部分找出快递费y₂（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式；
（3）分10≤m＜20以及20≤m＜24两种情况找出y关于m的函数关系式，根据一次函数的性质可找出y的取值范围，找出当y取最小值时m的值即可得出结论．

解答 解：（1）设托运费y₁（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y₁=kx+b，
将（30，300）、（50，900）代入y₁=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{30k+b=300}\\{50k+b=900}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=30}\\{b=-600}\end{array}\right.$，
∴托运费y₁（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y₁=30x-600．
当y₁=30x-600=0时，x=20．
答：可携带的免费行李的最大质量为20公斤．
（2）根据题意得：当x=1时，y₂=10；
当1＜x≤5时，y₂=10+3（x-1）=3x+7；
当5＜x≤15时，y₂=10+3×（5-1）+5（x-5）=5x-3．
综上所述：快递费y₂（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式为y₂=$\left\{\begin{array}{l}{10（x=1）}\\{3x+7（1＜x≤5）}\\{5x-3（5＜x≤15）}\end{array}\right.$．
（3）当10≤m＜20时，5＜25-m≤15，
∴y=y₁+y₂=0+5×（25-m）-3=-5m+122．
∵10≤m＜20，
∴22＜y≤72；
当20≤m＜24时，1＜25-m≤5，
∴y=y₁+y₂=30m-600+3×（25-m）+7=27m-518．
∵20≤m＜24，
∴22≤y＜130．
综上可知：当m=20时，总费用y的值最小，最小值为22．
答：当托运20公斤、快递5公斤行李时，总费用最少，最少费用为22元．

点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，解题的关键是：（1）观察函数图象，找出两点的坐标，利用待定系数法可求出函数关系式；（2）分x=1、1＜x≤5、5＜x≤15三部分找出快递费y₂（元）与行李质量x（公斤）的函数关系式；（3）分10≤m＜20以及20≤m＜24两种情况找出y关于m的函数关系式．