Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4．现在要将△ABC扩充成等腰三角形，且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长．
赵佳同学是这样操作的：如图1所示，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD．所以，△ADB为符合条件的三角形．则此时△ADB的周长为

 

．
请你在图2、图3中再设计两种扩充方案，并直接写出扩充后等腰三角形的周长．

Answer 1

考点：作图—应用与设计作图,等腰三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：利用勾股定理可求出AB的长进而得出△ADB的周长；再根据题目要求扩充成AC为直角边的直角三角形，利用AB=BD，AD=BD，分别得出答案．

解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，CD=BC，
∴AB=

32+42

=5，则AD=AB=5，
故此时△ADB的周长为：5+5+6=16；
如图2所示：AD=BD时，设DC=x，则AD=x+3，
在Rt△ADC中，
（x+3）²=x²+4²，
解得：x=

7

6

，
故AD=3+

7

6

=

25

6

，
则此时△ADB的周长为：

25

6

+

25

6

+5=

40

3

；
如图3所示：AB=BD时，在Rt△ADC中，
AD=

22+42

=2

5

，
则此时△ADB的周长为：2

5

+5+5=10+2

5

．
故答案为：16．

点评：本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．