Question

如图已知四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA中点分别为P、Q、M、N，求证：四边形PQMN是菱形．

Answer 1

考点：中点四边形

专题：证明题

分析：连接AC与BD，首先证得△AEC≌△DEB，即可得到AC=BD，然后利用三角形的中位线定理证得四边形MNPQ的对边平行且相等，并且邻边相等，从而证得四边形MNPQ是菱形．

解答：证明：连接BD、AC；
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°；
∴∠AEC=∠DEB=120°；
在△AEC与△DEB中，

AE=DE ∠AEC=∠DEB=120° EC=EB

，
∴△AEC≌△DEB（SAS）；
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN=

1

2

AC，
同理可证得：NP=

1

2

DB，QP=

1

2

AC，MQ=

1

2

BD，
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形．

点评：此题主要考查的是中点四边形，能发现并构建出全等三角形，是解答本题的关键．