Question

12．BC是半圆⊙A的直径，点D，E是圆上两点，并且∠DAE是直角，点F是弦CD、BE的交点．
（1）△EFC是什么三角形？
（2）如果AF∥CE，求DC：DB的值．

Answer 1

分析 （1）由BC是半圆⊙A的直径，得到∠CEF=∠BDF=90°，根据圆周角定理得到∠ECF=∠DBF=45°，即可得到结论；
（2）根据平行线的性质得到∠AFB=90°，根据三角形的中位线的性质得到EF=BF，根据勾股定理得到CF=$\sqrt{2}$BF，DF=DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，即可得到结论．

解答 解：（1）△EFC是等腰直角三角形，
理由：∵BC是半圆⊙A的直径，
∴∠CEF=∠BDF=90°，
∵∠EAC=90°，
∴∠ECF=∠DBF=45°，
∴∠EFC=∠DFB=45°，
∴△EFC是等腰直角三角形；

（2）∵AF∥CE，
∴∠AFB=90°，
∵AC=BC，
∴EF=BF，
∴CF=$\sqrt{2}$BF，
∵△DFB是等腰直角三角形，
∴DF=DB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BF，
∴CD=CF+DF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴DC：DB=3．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行线的性质，圆周角定理，根据圆周角定理得到∠ECF=∠DBF=45°是解题的关键．