Question

17．△ABC中，AD平分∠BAC交BC于D，CH⊥AD于H．
（1）求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$；
（2）若AB=3，AC=5，BC=7，
①求BD的长；
②求H到BC中点M的距离．

Answer 1

分析 （1）如图1，过B作BN∥AC交AD的延长线于N，得到∠N=∠CAD，由AD平分∠BAC交BC于D，得到∠BAD=∠CAD，等量代换得到∠BAD=∠N，由等腰三角形的判定得到AB=BN，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）①由$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，代入数据即可得到结论；
②如图2，延长AB，CH交于E，连接HM，推出△AEH≌△ACH，根据全等三角形的性质得到AE=AC，EH=CH，根据三角形的中位线即可得到结论．

解答 （1）证明：如图1，过B作BN∥AC交AD的延长线于N，
∴∠N=∠CAD，
∵AD平分∠BAC交BC于D，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAD=∠N，
∴AB=BN，
∵AC∥BN，
∴△BDN∽△ADC，
∴$\frac{BN}{AC}=\frac{BD}{CD}$，
$\frac{（\;\;\;\;）}{（\;\;\;\;）}$$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{CD}$；

（2）解：①∵$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，AB=3，AC=5，BC=7，
∴$\frac{3}{5}=\frac{BD}{7-BD}$，
∴BD=$\frac{21}{8}$；
②如图2，延长AB，CH交于E，连接HM，
∵CH⊥AD于H，
∴∠AHE=∠AHC=90°，
在△AEH于△ACH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠EAH=∠CAH}\\{AH=AH}\\{∠AHE=∠AHC}\end{array}\right.$，
∴△AEH≌△ACH，
∴AE=AC，EH=CH，
∴BE=AC-AB=2，
∵BM=CM，
∴HM=$\frac{1}{2}$BE=1．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．