Question

4．如图，梯形AOBC的顶点A，C在反比例函数图象上，OA∥BC，上底边OA在直线y=x上，下底边BC交y轴于B（0，-4），则四边形AOBC的面积为2$\sqrt{5}$+10．

Answer 1

分析 根据AO∥BC，且直线BC经过B（0，-4），用待定系数法求出BE的解析式为y=x-4，再求出E、C两点的坐标．根据C点坐标得出反比例函数解析式为y=$\frac{5}{x}$，然后把y=$\frac{5}{x}$与y=x组成方程组，求出A点坐标．根据勾股定理求出OA、BC的长度，易求梯形AOBC的高，从而求出梯形AOBC的面积．

解答 解：因为AO∥BC，上底边OA在直线y=x上，
则可设BC的解析式为y=x+b，
将B（0，-4）代入上式得，b=-4，
BC的解析式为y=x-4．
把y=1代入y=x-4，得x=5，C点坐标为（5，1），
则反比例函数解析式为y=$\frac{5}{x}$，
将它与y=x组成方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{y=\frac{5}{x}}\end{array}\right.$，
解得x=$\sqrt{5}$，x=-$\sqrt{5}$（负值舍去）．
代入y=x得，y=$\sqrt{5}$，
A点坐标为（$\sqrt{5}$，$\sqrt{5}$），
OA=$\sqrt{（\sqrt{5}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{10}$，
BC=$\sqrt{（5-0）^{2}+（1+4）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵BC的解析式为y=x-4，
∴E（4，0），
∵B（0，-4），
∴BE=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
设BE边上的高为h，
$4\sqrt{2}$h×$\frac{1}{2}$=4×4×$\frac{1}{2}$，
解得：h=2$\sqrt{2}$，
则梯形AOBC高为：2$\sqrt{2}$，
梯形AOBC面积为：$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×（$\sqrt{10}$+5$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{5}$+10，
故答案为：2$\sqrt{5}$+10．

点评 此题主要考查了反比例函数与一次函数、勾股定理、以及三角形面积、梯形面积，关键是求出反比例函数解析式，梯形AOBC的高．