Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=t=AE；
（2）先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=5，AD=AC-DC=10-2t，若△DEF为等边三角形，则？AEFD为菱形，得出AE=AD，t=10-2t，求出t=$\frac{10}{3}$；
（3）分三种情况讨论：①∠EDF=90°时；②∠DEF=90°时；③∠EFD=90°时，此种情况不存在；分别求出t的值即可．

解答 解：（1）证明：在△DFC中，∠DFC=90°，∠C=30°，DC=2t，
∴DF=t．
又∵AE=t，
∴AE=DF；
（2）能；
 理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵∠C=30°，AC=10，
∴AB=5，BC=5$\sqrt{3}$
∴AD=AC-DC=10-2t，
若使△DEF能够成为等边三角形，
则平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∴t=10-2t，
∴t=$\frac{10}{3}$；
即当t=$\frac{10}{3}$时，△DEF为等边三角形；
（3）当t=$\frac{2}{5}$或4时，△DEF为直角三角形；
理由如下：
①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE．即10-2t=2t，
∴t=$\frac{5}{2}$；
②∠DEF=90°时，由（2）知EF∥AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵∠A=90°-∠C=60°，
∴AD=AE•cos60°．
即10-2t=$\frac{1}{2}$t，
∴t=4；
③∠EFD=90°时，
∵DF⊥BC，
∴点运动到点B处，用了AB÷1=5秒中，
同时点D也运动5秒钟，点D就和点A重合，
点F也就和点B重合，
点D，E，F不能构成三角形．
此种情况不存在；
综上所述，当t=$\frac{5}{2}$或4时，△DEF为直角三角形．

点评 本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力；特别注意（3）中分类讨论三种情况，分别求出t的值，避免漏解