Question

【题目】在平面直角坐标系中，点到直线的距离即为点到直线的垂线段的长．

（1）如图1，取点M（1，0），则点M到直线l：y＝x﹣1的距离为多少？

（2）如图2，点P是反比例函数y＝在第一象限上的一个点，过点P分别作PM⊥x轴，作PN⊥y轴，记P到直线MN的距离为d0，问是否存在点P，使d0＝？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

（3）如图3，若直线y＝kx+m与抛物线y＝x2﹣4x相交于x轴上方两点A、B（A在B的左边）．且∠AOB＝90°，求点P（2，0）到直线y＝kx+m的距离最大时，直线y＝kx+m的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）点P（，2）或（2，）；（3）y＝﹣2x+9

【解析】

（1）如图1，设直线l：y＝x﹣1与x轴，y轴的交点为点A，点B，过点M作ME⊥AB，先求出点A，点B坐标，可得OA＝2，OB＝1，AM＝1，由勾股定理可求AB长，由锐角三角函数可求解；

（2）设点P（a，），用参数a表示MN的长，由面积关系可求a的值，即可求点P坐标；

（3）如图3，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，设点A（a，a2﹣4a），点B（b，b2﹣4b），通过证明△AOC∽△BOD，可得ab﹣4（a+b）+17＝0，由根与系数关系可求a+b＝k+4，ab＝﹣m，可得y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1，可得直线y＝k（x﹣4）+1过定点N（4，1），则当PN⊥直线y＝kx+m时，点P到直线y＝kx+m的距离最大，由待定系数法可求直线PN的解析式，可求k，m的值，即可求解．

解：（1）如图1，设直线l：y＝x﹣1与x轴，y轴的交点为点A，点B，过点M作ME⊥AB，

∵直线l：y＝x﹣1与x轴，y轴的交点为点A，点B，

∴点A（2，0），点B（0，﹣1），且点M（1，0），

∴AO＝2，BO＝1，AM＝OM＝1，

∴AB＝＝＝，

∵tan∠OAB＝tan∠MAE＝，

∴，

∴ME＝，

∴点M到直线l：y＝x﹣1的距离为；

（2）设点P（a，），（a＞0）

∴OM＝a，ON＝，

∴MN＝＝，

∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，∠MON＝90°，

∴四边形PMON是矩形，

∴S△PMN＝S矩形PMON＝2，

∴×MN×d0＝2，

∴×＝4，

∴a4﹣10a2+16＝0，

∴a1＝2，a2＝﹣2（舍去），a3＝2，a4＝﹣2（舍去），

∴点P（，2）或（2，），

（3）如图3，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥y轴于点D，

设点A（a，a2﹣4a），点B（b，b2﹣4b），

∵∠AOB＝90°，

∴∠AOC+∠BOD＝90°，且∠AOC+∠CAO＝90°，

∴∠BOD＝∠CAO，且∠ACO＝∠BDO，

∴△AOC∽△BOD，

∴，

∴

∴ab﹣4（a+b）+17＝0，

∵直线y＝kx+m与抛物线y＝x2﹣4x相交于x轴上方两点A、B，

∴a，b是方程kx+m＝x2﹣4x的两根，

∴a+b＝k+4，ab＝﹣m，

∴﹣m﹣4（k+4）+17＝0，

∴m＝1﹣4k，

∴y＝kx+1﹣4k＝k（x﹣4）+1，

∴直线y＝k（x﹣4）+1过定点N（4，1），

∴当PN⊥直线y＝kx+m时，点P到直线y＝kx+m的距离最大，

设直线PN的解析式为y＝cx+d，

∴

解得

∴直线PN的解析式为y＝x﹣1，

∴k＝﹣2，

∴m＝1﹣4×（﹣2）＝9，

∴直线y＝kx+m的解析式为y＝﹣2x+9．