Question

【题目】如图，，为中点，点为射线上（不与点重合）的任意一点，连接，并使的延长线交射线于点，设．

（1）求证：；

（2）当时，求的长；

（3）当的外心不在三角形外部时，请直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）1；（3）

【解析】

（1）根据AAS证明：△APM≌△BPN；
（2）由（1）中的全等得：PM=PN，利用正切函数可得结论；
（3）△BPN是锐角三角形，由三角形的内角和可得结论．

（1）∵P是AB的中点，
∴PA=PB，
在△APM和△BPN中，

，

∴△APM≌△BPN（ASA）；

（2）由（1）得：△APM≌△BPN，
∴PM=PN，

∵∠BPN=90°，

∴在Rt△BPN中，∠BPN=90°，∠B=30°，PB=，

∴；

（3）∵△BPN的外心不在三角形外部，

∴△BPN是锐角三角形，
∵∠B=30°，
∴90°-30°＜∠BPN＜90°，即60°＜α＜90°．