题目内容

【题目】如图.在中,的中位线,连结,点是边上的一个动点,连结,交

(1)当点的中点时,求的值及的长

(2) 当四边形与四边形的面积相等时,求的长:

(3)如图2.以为直径作

①当正好经过点时,求证:的切线:

②当的值满足什么条件时,与线段有且只有一个交点.

【答案】1;(2;(3)①见解析;②当时,与线段有且只有一个交点.

【解析】

1)根据题意得H的重心,即可得的值,由重心和中位线的性质求得,由勾股定理求得的长,即可得的长;

2)根据图中面积的关系得S四边形DCFG=,列出关系式求解即可得的长;

3)根据与线段有且只有一个交点,可分两类情况讨论:当相切时,求得的值;当过点E,此时是与线段有两个交点的临界点,即可得出与线段有且只有一个交点时满足的条件.

解:(1)∵的中位线,

分别是的中点,

又∵点的中点,

的交点的重心,

,即

中,DAC中点,,则

DG的中位线,GAF的中点,

中,

2)∵四边形与四边形的面积相等,

S四边形DCFH+=S四边形BEGH+

S梯形DCFG=

的中位线,

,∵DG的中位线,

S梯形DCFG

解得:

3)①证明:如图2,连结

的直径,经过点

为直角三角形,

的中点,

,即

,即的切线;

②如图3-1,当相切时,与线段有且只有一个交点,

的半径为r,圆心ODE的距离为d

∴当r=d时,相切,

∴两平行线之间的距离为

得:

如图3-2,当经过点时,连接

的半径为,即

GAF的中点,OCF的中点,

∴四边形COGD为平行四边形,

又∵

∴四边形COGD为矩形,

,则为直角三角形,

由勾股定理得:,即

解得:,则

得:

则当时,与线段有且只有一个交点;

综上所述,当时,与线段有且只有一个交点.

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