题目内容
【题目】如图.在中,,,,是的中位线,连结,点是边上的一个动点,连结交于,交于.
(1)当点是的中点时,求的值及的长
(2) 当四边形与四边形的面积相等时,求的长:
(3)如图2.以为直径作.
①当正好经过点时,求证:是的切线:
②当的值满足什么条件时,与线段有且只有一个交点.
【答案】(1),;(2);(3)①见解析;②当或时,与线段有且只有一个交点.
【解析】
(1)根据题意得H为的重心,即可得的值,由重心和中位线的性质求得,由勾股定理求得的长,即可得的长;
(2)根据图中面积的关系得S四边形DCFG=,列出关系式求解即可得的长;
(3)根据与线段有且只有一个交点,可分两类情况讨论:当与相切时,求得的值;当过点E,此时是与线段有两个交点的临界点,即可得出与线段有且只有一个交点时满足的条件.
解:(1)∵是的中位线,
∴分别是的中点,,
又∵点是的中点,
∴与的交点是的重心,
,即;,
∴,
在中,D为AC中点,,则,
∴DG为的中位线,G为AF的中点,
,
,
在中,,,,
,
则,
,
;
(2)∵四边形与四边形的面积相等,
∴S四边形DCFH+=S四边形BEGH+,
即S梯形DCFG=,
∵,,是的中位线,
∴,,
∵,
设,∵DG为的中位线,
∴,
则S梯形DCFG,
解得:,
;
(3)①证明:如图2,连结,
为的直径,经过点,
,
∴,为直角三角形,
为的中点,
,
.
又,
,
∴,即,
∴,即是的切线;
②如图3-1,当与相切时,与线段有且只有一个交点,
设的半径为r,圆心O到DE的距离为d,
∴当r=d时,与相切,
∵,,,
∴两平行线之间的距离为,
∴,
则,,
由得:,
;
如图3-2,当经过点时,连接、,
设的半径为,即,
∵G为AF的中点,O为CF的中点,
∴,
∴四边形COGD为平行四边形,
又∵,
∴四边形COGD为矩形,
∴,则,为直角三角形,
∴,,
则,
由勾股定理得:,即,
解得:,则,
,
由得:,
,
则当时,与线段有且只有一个交点;
综上所述,当或时,与线段有且只有一个交点.