Question

如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，以AB为直径作圆O交AC于E，连接E点和CB的中点D．
（1）DE是圆O的切线吗？如果是请说明理由．
（2）若AE和AB的长度分别为一元二次方程x²-10x+24=0的两个根，求BC的长度？

Answer 1

考点：切线的判定,解一元二次方程-因式分解法

专题：计算题

分析：（1）连结OE、BE，如图，先根据圆周角定理得到∠AEB=90°，再利用直角三角形斜边上的中线性质得到DE=DB=DC，再利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则∠2+∠3=∠1+∠4=90°，即∠ODE=90°，然后根据切线的判定定理即可得到DE是⊙O的切线；
（2）先解方程得到AE=4，AB=6，再证明Rt△ABE∽Rt△ABC，则利用相似比可计算出AC=9，然后利用勾股定理计算BC的长．

解答：解：（1）DE为圆O的切线．理由如下：
连结OE、BE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∴∠CEB=90°
又∵D为BC的中点，
∴DE=DB=DC，
∴∠1=∠2，
∵OE=OB，
∴∠3=∠4，
∵∠ABC=90°，
∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°，即∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解方程x²-10x+24=0得x₁=4，x₂=6，
∴AE=4，AB=6，
∵∠BAE=∠CAB，
∴Rt△ABE∽Rt△ABC，
∴

AE

AB

=

AB

AC

，即

4

6

=

6

AC

，
∴AC=9，
在Rt△ABC中，∵AB=6，AC=9，
∴BC=

AC2-AB2

=3

5

．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了等腰三角形的性质和相似三角形的判定与性质．