Question

13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，过点A作AE⊥CD，交CD的延长线于点E，DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）已知AE=8cm，CD=12cm，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角得出∠ODA=∠OAD，进而得出∠OAD=∠EDA，证得EC∥OA，从而证得AE⊥OA，即可证得AE是⊙O的切线；
（2）过点O作OF⊥CD，垂足为点F．从而证得四边形AOFE是矩形，得出OF=AE=8cm，根据垂径定理得出DF=$\frac{1}{2}$CD=6cm，在Rt△ODF中，根据勾股定理即可求得⊙O的半径．

解答 （1）证明：连结OA．
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD．   
∵DA平分∠BDE，
∴∠ODA=∠EDA．
∴∠OAD=∠EDA，
∴EC∥OA．  
∵AE⊥CD，
∴OA⊥AE．        
∵点A在⊙O上，
∴AE是⊙O的切线．
（2）解：过点O作OF⊥CD，垂足为点F．
∵∠OAE=∠AED=∠OFD=90°，
∴四边形AOFE是矩形．
∴OF=AE=8cm． 
又∵OF⊥CD，
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=6cm． 
在Rt△ODF中，OD=$\sqrt{O{F^2}+D{F^2}}$=10cm，
即⊙O的半径为10cm．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键．