Question

15．如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．
（1）求直线A′B′所对应的函数表达式．
（2）若直线A′B′与直线AB相交于点C，求△A′BC的面积．

Answer 1

分析 （1）先根据一次函数的解析式求出AB两点的坐标，再由图形旋转的性质求出A′、B′的坐标，用待定系数法求出直线A′B′的解析式即可；
（2）直接根据A′BC的坐标，利用三角形的面积公式进行计算即可．

解答 解：（1）∵直线y=-2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，
∴点A、B的坐标分别为（2，0）、（0，4）．
由旋转得，点A′、B′的坐标分别为（0，-2）、（4，0）．               
设直线A′B′所对应的函数表达式为y=kx+b．
∴$\left\{\begin{array}{l}b=-2\\ 4k+b=0.\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=\frac{1}{2}\\ b=-2.\end{array}\right.$．
∴直线A′B′所对应的函数表达式为$y=\frac{1}{2}x-2$．
（2）依题意有$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+4}\\{y=\frac{1}{2}x-2}\end{array}\right.$，
解得$x=\frac{12}{5}$．
∴点C的横坐标为$\frac{12}{5}$．
∵A′B=4-（-2）=6，
∴${S_{△A'BC}}=\frac{1}{2}A'B•x{\;}_C=\frac{1}{2}×6×\frac{12}{5}=\frac{36}{5}$．

点评 本题考查的是一次函数的图象与及几何变换、一次函数的性质及三角形的面积公式，根据题意求出直线A′B′的解析式是解答此题的关键．