Question

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AE平分∠A交BC于E，CD⊥AB于D，交AE于F，FM∥AB交BC于M，求证（1）$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$；（2）$\frac{EB}{MB}=\frac{AE}{AF}$；（3）CE=BM．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到∠ACF=∠B，根据角平分线的定义得到∠CAF=∠BAE，根据相似三角形的性质即可得到$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到$\frac{EM}{MB}=\frac{EF}{AF}$，于是得到结论；
（3）根据三角形角平分线定理得到$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}$等量代换得到$\frac{BE}{CE}=\frac{EB}{MB}$，于是得到结论．

解答 证明：（1）∵∠C=90°，CD⊥AB，
∴∠ACF=∠B，
∵AE平分∠A交BC于E，
∴∠CAF=∠BAE，
∴△ACF∽△ABE，
∴$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}$；
（2）∵FM∥AB，
∴$\frac{EM}{MB}=\frac{EF}{AF}$，
∴$\frac{EB}{MB}=\frac{AE}{AF}$；
（3）∵AE平分∠A交BC于E，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{CE}$
∵$\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}，\frac{EB}{MB}=\frac{AE}{AF}$，
∴$\frac{BE}{CE}=\frac{EB}{MB}$，
∴CE=BM．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．