Question

4．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．
（1）求证：AM•MB=CM•MD；
（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM=2，求AM•MB的值．

Answer 1

分析 （1）连接AD、BC，利用同弧所对的圆周角相等，证明△ADM∽△CBM；
（2）连接OM、OC，由于M是CD的中点，由垂径定理得OM⊥CD，利用勾股定理可求出CM的值，根据（1）的结论，求出AM•BM．

解答 解：（1）连接AD、BC．
∵∠A=∠C，∠D=∠B，
∴△ADM∽△CBM
∴$\frac{AM}{CM}=\frac{DM}{BM}$
即AM•MB=CM•MD．
（2）连接OM、OC．
∵M为CD中点，
∴OM⊥CD
在Rt△OMC中，∵OC=3，OM=2
∴CD=CM=$\sqrt{O{C}^{2}-O{M}^{2}}$
=$\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}$
=$\sqrt{5}$
由（1）知AM•MB=CM•MD．
∴AM•MB=$\sqrt{5}$•$\sqrt{5}$
=5．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理、圆周角定理及垂径定理，是综合性较强的题目．（1）利用相似、圆周角定理得到相交弦定理；（2）中利用垂径定理、勾股定理和相交弦定理得到了AM与BM的积．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等