Question

3．在△ABC中，∠C=90°，D是AC上的点，∠A=∠DBC，将线段BD绕点B旋转，使点D落在线段AC的延长线上点D₁处，已知BC：AC=1：2，则cos∠AD₁B的值等于$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 由∠A=∠DBC、∠C=90°可得到△ACB∽△BDC，由此得出DC：BC=BC：AC=1：2，通过旋转得到△BDD₁为等腰三角形，利用角度转换就可以得出cos∠AD₁B的值．

解答 解：如图所示：

∵∠C=90°，∠A=∠DBC，
∴△ACB∽△BDC，
∴BC：AC=DC：AC，
∵BC：AC=1：2，
∴DC：AC=1：2，
设DC为a，则BC=2a
∴DB=$\sqrt{{a}^{2}+（2a）^{2}}$=$\sqrt{5}$a
∵BD绕点B旋转到BD₁
∴BD=BD₁，
∴∠AD₁B=∠BDC
∴cos∠AD₁B=cos∠BDC=a：$\sqrt{5}$a=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质、相似三角形性质、勾股定理及三角函数，解题的关键是要利用旋转得出∠AD₁B=∠BDC，实现了对所求角三角函数的转化．