Question

6．如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（-3，0）、B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{7}$
• B． $\frac{\sqrt{119}}{5}$
• C． 2.4
• D． 3

Answer 1

分析 连接OP，OQ，过点O作OP′⊥AB，垂足为P′．由切线的性质可证明△OQP为直角三角形，故此当OP有最小值时，PQ由最小值，接下来由垂线段的性质可知当OP⊥AB时，OP有最小值，接下来，在△AOB中依据面积法求得OP′的长，从而可求得PQ的最小值．

解答 解：如图所示：连接OP，OQ，过点O作OP′⊥AB，垂足为P′．

∵A（-3，0）、B（0，4），
∴OA=3，OB=4．
由勾股定理可知AB=5．
∵OP′•AB=OA•OB，
∴OP′=$\frac{12}{5}$．
∵PQ是圆O的切线，
∴OQ⊥QO．
∴PQ=$\sqrt{O{P}^{2}-1}$．
∴当OP有最小值时，PQ有最小值．
∵由垂线段最短可知PO的最小值=OP′=$\frac{12}{5}$，
∴PQ的最小值=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}-1}$=$\frac{\sqrt{119}}{5}$．
故选：B．

点评 本题主要考查的是切线的性质、勾股定理的应用、垂线的性质，由垂线段的性质求得OP的最小值是解题的关键．