将-张正方形纸片ABCD对折.使CD与AB重合.得到折痕MN后展开.E为CN上-点.将△CDE沿DE所在的直线折叠.使得点C落在折痕MN上的点F处.连接AF.BF.BD.则得下列结论:①△ADF是等边三角形,②tan∠EBF=2-$\sqrt{3}$,③S△ADF=$\frac{1}{3}$S正方形ABCD,④BF2=DF•EF．其中正确的是( )A．①②③B� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

17．

将-张正方形纸片ABCD对折，使CD与AB重合，得到折痕MN后展开，E为CN上-点，将△CDE沿DE所在的直线折叠，使得点C落在折痕MN上的点F处，连接AF，BF，BD，则得下列结论：
①△ADF是等边三角形；
②tan∠EBF=2-$\sqrt{3}$；
③S_△ADF=$\frac{1}{3}$S_{正方形ABCD}；
④BF²=DF•EF．
其中正确的是（　　）

A．

①②③

B．

①②④

C．

①③④

D．

②③④

分析由正方形的性质得出AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，由折叠的性质得出MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，由线段垂直平分线的性质得出FD=FA，得出△ADF是等边三角形，①正确；
设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，由等边三角形的性质得出∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=$\sqrt{3}$AM=2$\sqrt{3}$a，得出FN=MN-FM=（4-2$\sqrt{3}$）a，由三角函数的定义即可得出②正确；
求出△ADF的面积=$\frac{1}{2}$AD•FM=4$\sqrt{3}$a²，正方形ABCD的面积=16a²，得出③错误；
求出∠BFE=∠DFB，∠BEF=∠DBF，证出△BEF∽△DBF，得出对应边成比例，得出④正确；即可得出结论．

解答解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD=AD，∠C=∠BAD=∠ADC=90°，∠ABD=∠ADB=45°，
由折叠的性质得：MN垂直平分AD，FD=CD，BN=CN，∠FDE=∠CDE，∠DFE=∠C=90°，∠DEF=∠DEC，
∴FD=FA，
∴AD=FD=FA，
即△ADF是等边三角形，①正确；
设AB=AD=BC=4a，则MN=4a，BN=AM=2a，
∵△ADF是等边三角形，
∴∠DAF=∠AFD=∠ADF=60°，FA=AD=4a，FM=$\sqrt{3}$AM=2$\sqrt{3}$a，
∴FN=MN-FM=（4-2$\sqrt{3}$）a，
∴tan∠EBF=$\frac{FN}{BN}$=$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$=2-$\sqrt{3}$，②正确；
∵△ADF的面积=$\frac{1}{2}$AD•FM=$\frac{1}{2}$×4a×2$\sqrt{3}$a=4$\sqrt{3}$a²，正方形ABCD的面积=（4a）²=16a²，
∴$\frac{{S}_{△ADF}}{{S}_{正方形ABCD}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{16}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，③错误；
∵AF=AB，∠BAF=90°-60°=30°，
∴∠AFB=∠ABF=75°，
∴∠DBF=75°-45°=30°，∠BFE=360°-90°-60°-75°=135°=∠DFB，
∵∠BEF=180°-75°-75°=30°=∠DBF，
∴△BEF∽△DBF，
∴$\frac{BF}{DF}=\frac{EF}{BF}$，
∴BF²=DF•EF，④正确；
故选：B．

点评本题是相似形综合题目，考查了正方形的性质、折叠的性质、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形是等边三角形和证明三角形相似是解决问题的关键．

练习册系列答案

创新教程系列答案

互动中考复习大讲义系列答案

中考阶段总复习ABC系列答案

达优测试卷系列答案

剑指中考系列答案

名师点睛教材详解系列答案

课堂精练解读与指导系列答案

初中语文阅读专题训练系列答案

本土好学生小升初系统总复习系列答案

周自主读本系列答案

相关题目

7．化简
（1）$\sqrt{1-2x+x^2}$+$\sqrt{x^2-8x+16}$．（1≤x＜4）
（2）（$\sqrt{2-x}$）²-$\sqrt{x^2-6x+9}$．

8．若点A（m，y₁），B（m+1，y₂）都在二次函数y=ax²+4ax+2（a＞0）的图象上，且y₁＜y₂，则m的取值范围是（　　）

m＞-$\frac{5}{2}$

如图所示，将矩形ABCD纸板剪出一个宽AE=5的矩形AEFD，再将它绕着中心O顺时针旋转，使其中两个顶点分别与点A和点F重合，得到矩形AMFN，再沿着直线AB向右平移使点M和点N分别落在边BC和边EF上，得到矩形GHIJ，当$\frac{AD}{AB}$=$\frac{5}{6}$时，矩形ABCD的周长为66．

如图，在空白网格内将某一个小正方形涂成阴影部分，且所涂的小正方形与原阴影图形的小正方形至少有一边重合．小红按要求涂了一个正方形，所得到的阴影图形恰好是轴对称图形的概率为（　　）

2．“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福，展现黄冈人追梦的风采，我市小河中学开展了以“梦想中国，逐梦黄冈”为主题的演讲大赛．为确定演讲顺序，在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个实数，分别为3，$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$+6．（卡片除了实数不同外，其余均相同），每组三位参赛学生以抽取的实数大小来决定先后顺序．
（1）从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的实数是3的概率；
（2）先从盒子中随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为被减数；卡片不放回，再随机抽取一张卡片，将卡片上的实数作为减数，请你用列表法或树状图（树形图）法，求出两次抽取的卡片上的实数之差为有理数的概率．

9．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x，乙立方体朝上一面上分别标有数字为y，这样就确定点P的一个坐标（x，y），那么点P落在双曲线y=$\frac{6}{x}$上的概率为$\frac{1}{9}$．

如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，点P在经过点A（-3，0）、B（0，4）的直线上，PQ切⊙O于点Q，则切线长PQ的最小值为（　　）

$\frac{\sqrt{119}}{5}$

商场为了促销某件商品，设置了如图的一个转盘，它被分成了3个相同的扇形．各扇形分别标有数字2，3，4，指针的位置固定，该商品的价格由顾客自由转动此转盘两次来获取，每次转动后让其自由停止，记下指针所指的数字（指针指向两个扇形的交线时，当作右边的扇形），先记的数字作为价格的十位数字，后记的数字作为价格的个位数字，则顾客购买商品的价格不超过30元的概率是多少？