Question

（1）操作发现：如图1，D是等边三角形ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边三角形DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．
（2）类比猜想：如图2，当动点D运动到等边三角形ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．
（3）深入探究：
①如图3，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF'，连接AF，BF′．探究AF，BF′与AB有何数量关系？直接写出你的结论，不需证明．
②如图4，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图3相同，①中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，是否有新的结论？如果有新的结论，直接写出新的结论，不需证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）证明△BCD≌△ACF即可解题；
（2）证明△BCD≌△ACF即可解题；
（3）①证明△BCD≌△ACF和△BCF'≌△ACD可得BD=AF和AD=BF'即可解题；
②证明△BCD≌△ACF和△BCF'≌△ACD可得BD=AF和AD=BF'即可证明新结论．

解答：解：（1）∵∠BCA=∠DCF，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，

BC=AC ∠BCD=∠ACF CF=CD

，
∴△BCD≌△ACF，（SAS），
∴BD=AF；
（2）∵∠BCA=∠DCF，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，

BC=AC ∠BCD=∠ACF CF=CD

，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF；
（3）①∵∠BCA=∠DCF，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，

BC=AC ∠BCD=∠ACF CF=CD

，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF
∵∠BCA=∠DCF'，
∴∠BCF'=∠ACD，
在△BCF'和△ACD中，

BC=AC ∠ACD=∠BCF′ CD=CF′

，
∴△BCF'≌△ACD（SAS），
∴AD=BF'，
∴AB=AF+BF'；
②不成立，新结论为AB=AF-BF'．
证明∵∠BCA=∠DCF，
∴∠BCD=∠ACF，
在△BCD和△ACF中，

BC=AC ∠BCD=∠ACF CF=CD

，
∴△BCD≌△ACF（SAS），
∴BD=AF；
∵∠BCA=∠DCF'，
∴∠BCF'=∠ACD，
在△BCF'和△ACD中，

BC=AC ∠ACD=∠BCF′ CD=CF′

，
∴△BCF'≌△ACD（SAS），
∴AD=BF'，
∴AB=AF-BF'．

点评：本题考查了全等三角形判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中每一问都找出全等三角形并求证是解题的关键．