Question

如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=8，点P在线段AB上，连接CP，且tan∠APC=

4

3

．
（1）求CP的长；
（2）求∠BCP的正弦值．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）利用直角三角形中30°所对的边与斜边的关系以及利用锐角三角函数关系和勾股定理求出即可；
（2）过点P作PE⊥BC于点E，首先求出PE的长，再利用锐角三角函数关系求出即可．

解答：解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠A=30°，AC=8，
∴DC=4，
∵tan∠APC=

4

3

，
∴

CD

DP

=

4

3

，
∴DP=3，
在Rt△CDP中，
PC=

CD2+DP2

=5；

（2）如图，过点P作PE⊥BC于点E，
∵∠B=45°，∠CDB=90°，
∴∠DCB=45°，
∴CD=BD=4，
∴BP=1，
∴PE=BE=sin45°PB=

2

2

，
∴sin∠PCE=

PE

PC

=

2 2

5

=

2

10

．

点评：此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理等知识，正确构造直角三角形是解题关键．