Question

已知：关于x的函数y=kx²+k²x-2的图象与y轴交于点C，
（1）当k=-2时，求图象与x轴的公共点个数；
（2）若图象与x轴有一个交点为A，当△AOC是等腰三角形时，求k的值．
（3）若k≥1时函数y随着x的增大而减小，求k的取值范围．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点（或者把k=2代入函数关系，直接求得抛物线与x轴的交点横坐标）；
（2）根据△AOC是等腰直角三角形易求点A的坐标为（2，0）或（-2，0）．把点A的坐标代入函数解析式，通过方程来求k的值；
（3）由“k≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下．则k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧，故-

k2

2k

≤1，即-

k

2

≤1．

解答：解 （1）方法一：当k=-2时，函数为y=-2x²+4x-2，
∵b²-4ac=4²-4×（-2）×（-2）=0
∴图象与x轴公共点只有一个．
方法二：当k=-2时，函数为y=-2x²+4x-2，
令y=0，则-2x²+4x-2=0，
解得：x₁=x₂=1，
∴图象与x轴公共点只有一个；

（2）当△AOC是等腰三角形时，
∵∠AOC=90°，OC=2，
∴可得OA=OC=2
∴点A的坐标为（2，0）或（-2，0）．
把x=2，y=0代入解析式 得2k²+4k-2=0，
解得 k₁=-1+

2

，k₁=-1-

2

，
把x=-2，y=0代入解析式 得-2k²+4k-2=0，
解得 k₁=-k₁=1．
∴k的值为-1+

2

或-1-

2

或1；

（3）由“k≥1时函数y随着x的增大而减小”可知，抛物线开口向下，
∴k＜0，且对称轴在直线x=1的左侧，
∴-

k2

2k

≤1，即-

k

2

≤1．
解不等式组

k＜0 - k 2 ≤1

，
解得-2≤k＜0．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点，等腰三角形的性质．熟悉判别式和二次函数与x轴交点的关系是解题的关键．