Question

6．如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AB=3，AC=5，求四边形AECF的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABE≌△CDF，则DF=BE，然后可得到AF=EC，依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形可证明AECF是平行四边形；
（2）由AB=3，AC=5，可得BC=4，设CE=x，则EM=4-x，CM=5-3=2，在Rt△CEM中，利用勾股定理可解得x，由平行四边形的面积公式可得结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠B=∠D=90°，∠BAC=∠DCA．
由翻折的性质可知：∠EAB=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠DCA．
∴∠EAB=∠DCA．
在△ABE和△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠D}\\{AB=CD}\\{∠EAB=∠DCA}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF，
∴DF=BE．
∴AF=EC．
又∵AF∥EC，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）∵AB=3，AC=5，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
设CE=x，则EM=4-x，CM=5-3=2，
在Rt△CEM中，依据勾股定理得：（4-x）²+2²=x²，
解得：x=2.5，
∴四边形AECF的面积的面积为：EC•AB=2.5×3=7.5．

点评 本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、平行四边形的判定定理和勾股定理等，综合运用各定理是解答此题的关键．