Question

如图，在直角坐标系中，矩形纸片ABCD的点B坐标为（9，3），若把图形按要求折叠，使B、D两点重合，折痕为EF．
（1）△DEF是等腰三角形吗？说明理由；
（2）求折痕EF的长及所在直线的解析式；
（3）四边形ADFE与四边形CBEF是否是成中心对称的两个图形？如果是，画出对称中心并说明理由；如果不是，也请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）由四边形ABCD是矩形，可得AB∥OC，又由折叠的性质可得：∠BEF=∠OEF，即可证得∠OEF=∠OFE，则可得OE=OF；
（2）首先设BE=OE=x，则AE=9-x，可得方程（9-x）²+3²=x²，继而求得点E，F的坐标，即可求得折痕EF的长，然后利用待定系数法求得此一次函数的解析式；
（3）首先连接BD交EF于M，由B、D关于EF对称，可得BM=DM，EM⊥BD，继而易证得EM=FM可得E、F关于M成中心对称，B、D关于M成中心对称，又由M为BD的中点，即可证得A、C关于M成中心对称．继而证得结论．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥OC，
∴∠BEF=∠OFE，
由折叠的性质可得：∠BEF=∠OEF，
∴∠OEF=∠OFE，
∴OE=OF，
∴△OEF是等腰三角形；

（2）设BE=OE=x，则AE=9-x，
在Rt△AEO中，AE²+OA²=OE²，
∴（9-x）²+3²=x²，
解得：x=5，
∴OF=OE=5，AE=4，
∴E（4，3），F（5，0），
∴EF=

32+12

=

10

，
设直线EF的解析式为：y=kx+b，
则

4k+b=3 5k+b=0

，
解得：

k=-3 b=15

，
∴直线EF的解析式为y=-3x+15；

（2）四边形ADFE与四边形CBEF是成中心对称的两个图形．
理由：连接BD交EF于M，
∵B、D关于EF对称，
∴BM=DM，EM⊥BD，
∵AB∥OC，
∴△BME∽△DMF，
∴EM：FM=BM：DM，
∴EM=FM
∴E、F关于M成中心对称，B、D关于M成中心对称，
又∵M为BD的中点，
∴A、C关于M成中心对称．
∴四边形AEFD与四边形CFEB关于M成中心对称．

点评：此题属于一次函数的综合题，考查了待定系数求一次函数解析式、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质以及中心对称的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．