Question

4．如图1，在平面直角坐标系中，已知点B（$2\sqrt{3}$，2），△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点（不与原点重合），以线段AP为一边在其右侧作等边△APQ．
（1）求点A的坐标；
（2）如图1，在点P的运动过程中，总有△AOP≌△ABQ．请证明这个结论．
（3）如图2，连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）过B作BD⊥x轴，交x轴于点D，在Rt△OBD中，利用勾股定理可求得OB的长，从而可得到OA的长，可求得A点坐标；
（2）由等边三角形的性质可得到AO=AB，AP=AQ，且可得到∠PAO=∠QAB，可证得结论；
（3）利用（2）的结论结合平行可得∠BQO=90°，在Rt△ABQ中可求得BQ，又OP=BQ，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）如图1，过B作BD⊥x轴，交x轴于点D，

∵B点坐标为（2$\sqrt{3}$，2），
∴OD=2$\sqrt{3}$，BD=2，
在Rt△OBD中，由勾股定理可得OB=4，
∵△AOB为等边三角形，
∴OA=OB=4，
∴A点坐标为（0，4）；
（2）证明：
∵△AOB和△APQ都是等边三角形，
∴AP=AQ，AO=AB，∠PAQ=∠OAB=60°，
∴∠PAO+∠OAQ=∠QAB+∠OAQ，
∴∠PAO=∠QAB，
在△AOP和△ABQ中
$\left\{\begin{array}{l}{AO=AB}\\{∠PAO=∠QAB}\\{AP=AQ}\end{array}\right.$
∴△AOP≌△ABQ（SAS）；
（3）连接BQ，如图2，

由（2）可知△AOP≌△ABQ，
∴∠ABQ=∠AOP=90°，BQ=OP，
∵AB∥OQ，
∴∠BOQ=∠ABO=60°，∠BQO=90°，
∵OB=4，
∴在Rt△BQO中，OQ=2，
∴BQ=2$\sqrt{3}$，
∴OP=2$\sqrt{3}$，
∴P点坐标为（-2$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题为三角形的综合应用，涉及知识点有等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质及勾股定理等．在（1）、（3）中求得线段的长度是求点的坐标的一般思路，在（2）中注意等边三角形性质的应用．本题考查知识点都属于基础知识，难度不大．