Question

我们知道：平行四边形的面积=（底边）×（这条底边上的高）．如图，四边形ABCD都是平行四边形，AD∥BC，AB∥CD，设它的面积为S．
（1）如图①，点M为AD上任意一点，若△BCM的面积为S₁，则S₁：S=

 

；
（2）如图②，点P为平行四边形ABCD内任意一点时，记△PAB的面积为Sˊ，△PCD的面积为S〞，平行四边形ABCD的面积为S，猜想得Sˊ、S〞的和与S的数量关系式为

 

；
（3）如图③，已知点P为平行四边形ABCD内任意一点，△PAB的面积为3，△PBC的面积为7，求△PBD的面积．

Answer 1

考点：平行四边形的性质

专题：

分析：（1）由四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，AB∥CD，可得△BCM与?ABCD等底等高，则可求得答案；
（2）首先过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F，可得S′+S″=

1

2

AB•PE+

1

2

CD•PF=

1

2

AB•（PE+PF）=

1

2

AB•EF=

1

2

S；
（3）由△PAB的面积为3，△PBC的面积为7，根据（1），（2）可得：S_△PBD=S_{四边形PBCD}-S_△PCD=S_△PBC+S_△PCD-S_△BCD，继而求得答案．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，AD∥BC，AB∥CD，
∴△BCM与?ABCD等底等高，
∴S₁：S=1：2；
故答案为：1：2．

（2）Sˊ+S〞=

1

2

S．
理由：过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴PF⊥CD，
∴S′+S″=

1

2

AB•PE+

1

2

CD•PF=

1

2

AB•（PE+PF）=

1

2

AB•EF=

1

2

S．
故答案为：Sˊ+S〞=

1

2

S；

（3）∵S_△PAB+S_△PCD=

1

2

S=S_△BCD，S_△PAB=3，S_△PBC=7，
∴S_△PBD=S_{四边形PBCD}-S_△PCD=S_△PBC+S_△PCD-S_△BCD，
即S_△PBD=7+（

1

2

S-3）-

1

2

S=7-3=4．

点评：此题考查了平行西四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．