Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b交x轴于点A，交y轴于点B，线段AB的中点E的坐标为（2，1）．
（1）求k，b的值；
（2）P为直线AB上一点，PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，若四边形PCOD为正方形，求点P的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）作EF⊥OA于点F，根据三角形中位线定理即可求得OA、OB的长，则A、B的坐标可求得，利用待定系数法求得直线AB的解析式；
（2）当四边形PCOD为正方形时，点P一定在一、三象限的角平分线上或二、四象限的角平分线上，则P在直线y=x上或在直线y=-x上，求出与AB的交点坐标即可．

解答：解：（1）作EF⊥OA于点F．
∵E是AB的中点，
∴OB=2EF=2，OA=4，
则B的坐标是（0，2），A的坐标是（4，0），
根据题意得：

b=2 4k+b=0

，
解得：

b=2 k=- 1 2

；

（2）直线AB的解析式是：y=-

1

2

x+2，
当四边形PCOD为正方形时，点P一定在一、三象限的角平分线上或二、四象限的角平分线上，
则P在直线y=x上或在直线y=-x上．
当P在直线y=x上时，

y=x y=- 1 2 x+2

，解得：

x= 4 3 y= 4 3

，则P的坐标是（

4

3

，

4

3

）；
当P在直线y=-x上时，

y=-x y=- 1 2 x+2

，解得：

x=-4 y=4

，则P的坐标是（-4，4）．
则P的坐标是：（

4

3

，

4

3

）或（-4，4）．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及正方形的性质，理解P在直线y=x上或在直线y=-x上是关键．