Question

13．如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．
（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；
（2）填空：
①当t=2s时，四边形PBQE为菱形；
②当t=0或4s时，四边形PBQE为矩形．

Answer 1

分析 （1）只要证明△ABP≌△DEQ（SAS），可得BP=EQ，同理PE=BQ，由此即可证明；
（2）①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s；
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，推出∠BPE=120°-30°=90°，推出此时四边形PBQE是矩形．当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形；

解答 （1）证明：∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠ABC=∠C=∠D=∠DEF=∠F，
∵点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，
∴AP=DQ=t，PF=QC=4-t，
在△ABP和△DEQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{∠A=∠D}\\{AP=DQ}\end{array}\right.$，
∴△ABP≌△DEQ（SAS），
∴BP=EQ，同理可证PE=QB，
∴四边形PEQB是平行四边形．

（2）解：①当PA=PF，QC=QD时，四边形PBEQ是菱形时，此时t=2s．
②当t=0时，∠EPF=∠PEF=30°，
∴∠BPE=120°-30°=90°，
∴此时四边形PBQE是矩形．
当t=4时，同法可知∠BPE=90°，此时四边形PBQE是矩形．
综上所述，t=0s或4s时，四边形PBQE是矩形．
故答案为2s，0s或4s．

点评 本题考查正多边形与圆．平行四边形的判定和性质、菱形的判定、矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．