Question

16．已知正比例函数y=4x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，点A坐标为（1，m），反比例函数图象有一点P使得三角形ABP的面积为40，求P点坐标．

Answer 1

分析 根据正比例函数y=4x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，点A坐标为（1，m），求得m=4×1=4，k=1×4=4，进而得出反比例函数为y=$\frac{4}{x}$，再设点P（m，$\frac{4}{m}$），分两种情况进行讨论：①P在AB右侧，②P在AB左侧，分别构造矩形，根据割补法列出关于m的方程，求得m的值，即可得到P点坐标．

解答 解：∵正比例函数y=4x与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A、B两点，点A坐标为（1，m），
∴m=4×1=4，k=1×4=4，
∴反比例函数为y=$\frac{4}{x}$，
设点P（m，$\frac{4}{m}$），
①当P在AB右侧时，如图所示，构造矩形BCDE，

根据△ABP面积=矩形BCDE面积-△ABE面积-△BCP面积-△ADP面积，可得
8（m+1）-$\frac{1}{2}$×2×8-$\frac{1}{2}$×（m+1）×（$\frac{4}{m}$+4）-$\frac{1}{2}$×（4-$\frac{4}{m}$）×（m-1）=40，
解得m=$\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$或$\frac{5-3\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{4}{m}$=-20+12$\sqrt{3}$或-20-12$\sqrt{3}$，
∴P（$\frac{5+3\sqrt{3}}{2}$，-20+12$\sqrt{3}$）或（$\frac{5-3\sqrt{3}}{2}$，-20-12$\sqrt{3}$）；
②当P在AB左侧时，如图所示，构造矩形BCDE，

根据△ABP面积=矩形BCDE面积-△PBE面积-△BCA面积-△ADP面积，可得
2（$\frac{4}{m}$+4）-$\frac{1}{2}$×（m+1）×（$\frac{4}{m}$+4））-$\frac{1}{2}$×2×8-$\frac{1}{2}$×（$\frac{4}{m}$-4）×（1-m）=40，
解得m=-5+$\sqrt{26}$或-5-$\sqrt{26}$，
∴$\frac{4}{m}$=20+4$\sqrt{26}$或20-4$\sqrt{26}$，
∴P（-5+$\sqrt{26}$，20+4$\sqrt{26}$）或（-5-$\sqrt{26}$，20-4$\sqrt{26}$）．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点的问题，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形进行求解．解题时注意：若坐标平面内的三角形的各边与坐标轴都不垂直时，需要运用割补法求解．