Question

11．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，连接DB，O为DB的中点，连接OE，OC．
（1）如图①，当A，B，D三点共线时，求证：OC=OE且OC⊥OE；
（2）如图②，当A，B，D三点不共线时，（1）的结论是否成立？说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图1，延长EO到F使OF=OE，连接EC，BF，CF，通过△DOE≌△BOF，得到DE=BF，∠D=∠OBF，证得△ACE≌△BCF，根据全等三角形的性质得到EC=CF，∠ACE=∠BCF，推出△ECF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）延长EO到F使OF=OE，连接EC，BF，CF，通过△DOE≌△BOF，得到DE=BF，∠D=∠OBF，证得△ACE≌△BCF，根据全等三角形的性质得到EC=CF，∠ACE=∠BCF，推出△ECF是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．

解答 解：（1）如图1，延长EO到F使OF=OE，连接EC，BF，CF，
在△DOE与△BOF中，$\left\{\begin{array}{l}{DO=BO}\\{∠DOE=∠BOF}\\{EO=FO}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，∠D=∠OBF，
∴AE=BF，
∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，
∴∠D=∠ABC=∠EAD=∠CAB=45°，
∴∠CAE=∠CBF=90°，
在△ACE与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠EAC=∠FBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF，
∴EC=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ACE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴OC=OE且OC⊥OE；

（2）（1）的结论成立，
如图②，延长EO到F使OF=OE，连接EC，BF，CF，
在△DOE与△BOF中，$\left\{\begin{array}{l}{DO=BO}\\{∠DOE=∠BOF}\\{EO=FO}\end{array}\right.$，
∴△DOE≌△BOF，
∴DE=BF，∠EDO=∠OBF=∠EDA+∠1，
∴AE=BF，
∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠AED=90°，
∴∠EDA=∠ABC=∠EAD=∠CAB=45°，
∴∠CBF=45°+∠2+45°+∠1=90°+∠1+∠2，
∠CAE=360°-∠DAB-90°=270°-（180°-∠1-∠2）=90°+∠1+∠2，
∴∠CAE=∠CBF，
在△ACE与△BCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=BF}\\{∠EAC=∠FBC}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCF，
∴EC=CF，∠ACE=∠BCF，
∴∠ACE+∠ACF=∠BCF+∠ACF=90°，
∴∠ECF=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，
∴OC=OE且OC⊥OE．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．