题目内容
如图，△ABC中，∠A=90°，A点坐标为（2，3），AB∥x轴，AC∥y轴，且 AB、AC的长是方程x2-5x+6=0的两个根，AB＞AC．（1）求BC的长；
（2）将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE（点B、点C的对应点分别为点D、点E），请在图中画出△ADE，并直接写出D、E两点的坐标．
（3）在y轴上是否存在点P，使△PDE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
考点：几何变换综合题
专题：
分析：（1）先求出x的值，再根据勾股定理即可得出BC的长；
（2）根据图形旋转的性质画出△ADE，并直接写出D、E两点的坐标即可；
（3）由于等腰三角形的顶点不能确定，故应分DE为腰长和DE为底两种情况进行讨论．
（2）根据图形旋转的性质画出△ADE，并直接写出D、E两点的坐标即可；
（3）由于等腰三角形的顶点不能确定，故应分DE为腰长和DE为底两种情况进行讨论．
解答：
解：（1）∵x2-5x+6=0，
∴（x-2）（x-3）=0，
∴x1=2；x2=3．
∵∠A=90°，
∴BC=
=
=
；
（2）如图所示，D（2，0），E（4，3）；
（3）以点D为顶角的顶点，DE为腰长，P1（0，3）；以DE为底，P2（0，3.5）．
理由如下：设OP=x
∵PK为DE的垂直平分线，
∴PD=PE．
在Rt△POD和Rt△PHE中，
∵PD2=OP2+OD2=x2+22，PE2=PH2+HE2=（x-3）2+42
∴x2+22=（x-3）2+42，
∴x=3.5，
∴P2（0，3.5）．
解：（1）∵x2-5x+6=0，∴（x-2）（x-3）=0，
∴x1=2；x2=3．
∵∠A=90°，
∴BC=
| AC2+AB2 |
| 32+22 |
| 13 |
（2）如图所示，D（2，0），E（4，3）；
（3）以点D为顶角的顶点，DE为腰长，P1（0，3）；以DE为底，P2（0，3.5）．
理由如下：设OP=x
∵PK为DE的垂直平分线，
∴PD=PE．
在Rt△POD和Rt△PHE中，
∵PD2=OP2+OD2=x2+22，PE2=PH2+HE2=（x-3）2+42
∴x2+22=（x-3）2+42，
∴x=3.5，
∴P2（0，3.5）．
点评：本题考查的是几何变换综合题，涉及到勾股定理及图形旋转的性质，难度适中．
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