Question

 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y=x²+2x与x轴相交于O、B，顶点为A，连接OA． 
(1)A的坐标              ，∠AOB=              。
(2)若将抛物线y=x²+2x向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线m，其顶点为点C．连接OC和AC，把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′．试判断其形状，并说明理由； 
(3)在(2)的情况下，判断点C′是否在抛物线y=x²+2x上，请说明理由； 
(4)若点P为x轴上的一个动点，试探究在抛物线m上是否存在点Q，使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形，且OC为该四边形的一条边？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 

Answer 1

（1）（-2，-2）；45°（2分）(2)四边形ACOC′为菱形．（1分） 
由题意可知抛物线m的二次项系数为，且过顶点C的坐标是(2，﹣4)， 
∴抛物线的解析式为：y=(x﹣2)²﹣4，即y=x²﹣2x﹣2，（1分） 
过点C作CE⊥x轴，垂足为E；过点A作AF⊥CE，垂足为F，与y轴交与点H， 
∴OE=2，CE=4，AF=4，CF=CE﹣EF=2， 
∴OC===2， 
同理，AC=2，OC=AC， 
由反折不变性的性质可知，OC=AC=OC′=AC′， 
故四边形ACOC′为菱形．（1分）（共3分） 
(3)如图1，点C′不在抛物线y=x²+2x上．（1分） 
理由如下： 
过点C′作C′G⊥x轴，垂足为G， 
∵OC和OC′关于OA对称，∠AOB=∠AOH=45°， 
∴∠COH=∠C′OG， 
∵CE∥OH， 
∴∠OCE=∠C′OG， 
又∵∠CEO=∠C′GO=90°，OC=OC′， 
∴△CEO≌△C′GO， 
∴OG=4，C′G=2， 
∴点C′的坐标为(﹣4，2)，（1分） 
把x=﹣4代入抛物线y=x²+2x得y=0， 
∴点C′不在抛物线y=x²+2x上；（1分）（共3分） 
(4)存在符合条件的点Q． 
∵点P为x轴上的一个动点，点Q在抛物线m上， 
∴设Q(a，(a﹣2)²﹣4)， 
∵OC为该四边形的一条边， 
∴OP为对角线， 
∴=0，解得x₁=6，x₂=4， 
∴P(6，4)或(﹣2，4)(舍去)， 
∴点Q的坐标为(6，4)． （直接写出即可，2分，多写1个只得1分）

文澜中学的难度系数约0.76，全杭州市的难度系数约0.63