Question

12．如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是6和8，点M、N分别是边BC、AB上的动点，在对角线AC上找一点P，使PM+PN有最小值，其最小值是$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 当点N关于AC对称点N′与P、M三点共线且与BC垂直时，易求NM的长就是PN+PM的最小值．

解答 解：如图所示，当点N关于AC对称点N′与P、M三点共线且与BC垂直时，PN+PM有最小值．
∵菱形ABCD的两条对角线长分别是6和8，
∴BC=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5，
∵MN′⊥BC，
∴S_菱形ABCD=BC•MN′=$\frac{1}{2}$BD•AC，
∴MN′=$\frac{\frac{1}{2}×6×8}{5}$=$\frac{24}{5}$，
即PM+PN的最小值是$\frac{24}{5}$，
故答案为：$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了菱形的性质和轴对称-最短路线问题，解题的关键是得到PM+PN的最小值为菱形ABCD中BC边的高．