Question

1．如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．
（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP∽△PCD（填“≌”或“～”）；
（2）类比探究：如图③，在旋转过程中，$\frac{PE}{PF}$的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似，即可判定△ABP∽△PCD；
（2）过点F作FG⊥BC于G，则∠B=∠FGP，先判定△EBP∽△GPF，得出$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PB}{FG}$，再根据$\frac{PB}{FG}$=$\frac{1}{2}$，即可得出$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）如图②所示，∵∠MPN=90°，∠B=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°=∠CPD+∠APB，
∴∠BAP=∠CPD，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
故答案为：∽；

（2）在旋转过程中，$\frac{PE}{PF}$的值为定值．
证明：如图③所示，过点F作FG⊥BC于G，则∠B=∠FGP，
∵∠MPN=90°，∠B=90°，
∴∠BEP+∠EPB=90°=∠CPF+∠EPB，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△EBP∽△GPF，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{PB}{FG}$，
∵矩形ABGF中，FG=AB=2，而PB=1，
∴$\frac{PB}{FG}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PE}{PF}$=$\frac{1}{2}$，
即$\frac{PE}{PF}$的值为定值$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据相似三角形的对应边成比例进行推导计算．