Question

5．如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个ACC₁D₁，使∠D₁AC=60°；连接AC₁，再以AC₁为边作第三个菱形AC₁C₂D₂，使∠D₂AC₁=60°；…，按此规律所作的第2017个菱形的边长为（　　）

• A． （$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²⁰¹⁶
• B． （$\sqrt{3}$）²⁰¹⁶
• C． 2²⁰¹⁷
• D． （$\sqrt{3}$）²⁰¹⁷

Answer 1

分析 根据已知和菱形的性质可分别求得AC，AC₁，AC₂的长，从而可发现规律根据规律不难求得第n个菱形的边长．

解答 解：连接DB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB．AC⊥DB，
∵∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴DB=AD=1，
∴BM=$\frac{1}{2}$，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AC=$\sqrt{3}$，
同理可得AC₁=$\sqrt{3}$AC=（$\sqrt{3}$）²，AC₂=$\sqrt{3}$AC₁=3$\sqrt{3}$=（$\sqrt{3}$）³，
按此规律所作的第n个菱形的边长为（ $\sqrt{3}$）^n-1，
则第2017个菱形的边长为（ $\sqrt{3}$）²⁰¹⁶，
故选：B．

点评 此题主要考查菱形的性质、等边三角形的判定和性质以及学生探索规律的能力．