Question

18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，点D，E分别在边BC，AB上，连接AD，ED，且∠BDE=∠ADC，过E作EF⊥AD交边AC于点F，连接DF．
（1）求证：∠AEF=∠BED；
（2）过A作AG∥ED交BC的延长线于点G，设CD=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，设AD与EF交于点O．首先证明∠AFE=∠EDB，∠FAE=∠B，由∠CAB+∠AFE+∠AEF=180°，∠B+∠BDE+∠DEB=180°，即可证明．
（2）如图2中，过A作AG∥ED交BC的延长线于点G．是怎么CG=CD，由DE∥AG，推出$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DG}{BD}$，由△AEF∽△BED，推出$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AF}{BD}$，推出$\frac{DG}{BD}$=$\frac{AF}{BD}$，推出DG=AF即可解决问题．
（3）分两种情形求解即可①如图3中，当DE=DF时，易知AD垂直平分线段EF，作DH⊥AB于H．列出方程求解．②当DE=EF时，由△AEF∽△BED，推出AF=BD，CF=CD，即x=y，由此即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，设AD与EF交于点O．

∵AD⊥EF，
∴∠FOD=∠C=90°，
∴∠CDA+∠CFO=180°，∵∠CFO+∠AFE=180°，
∴∠AFE=∠ADC=∠ADB，
∵CA=CB，
∴∠CAB=∠B=45°，
∵∠CAB+∠AFE+∠AEF=180°，∠B+∠BDE+∠DEB=180°，
∴∠AEF=∠BED．

（2）如图2中，过A作AG∥ED交BC的延长线于点G．

∵DE∥AG，
∴∠G=∠BDE，∵∠BDE=∠ADG，
∴∠G=∠ADG，
∴AG=AD，∵AC⊥DG，
∴GC=CD=x，
∴$\frac{AE}{EB}$=$\frac{DG}{BD}$，
∵∠FAE=∠B，∠AEF=∠DEB，
∴△AEF∽△BED，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AF}{BD}$，
∴$\frac{DG}{BD}$=$\frac{AF}{BD}$，
∴DG=AF，
∴2x=2-y，
∴y=-2x+2．（0＜x≤1）．

（3）①如图3中，当DE=DF时，易知AD垂直平分线段EF，作DH⊥AB于H．

∵DA平分∠CAB，DC⊥CA，DH⊥AB，
∴DC=DH=x，
∵∠B=∠HDB=45°，
∴BD=$\sqrt{2}$x，
∴x+$\sqrt{2}$x=2，
∴x=2$\sqrt{2}$-2，
∴CD=2$\sqrt{2}$-2．
②当DE=EF时，∵△AEF∽△BED，
∴AF=BD，CF=CD，
∴x=y，
∴x=-2x+2，
∴x=$\frac{2}{3}$，
∴CD=$\frac{2}{3}$．
∴当△DEF是以DE为腰的等腰三角形时，CD的长2$\sqrt{2}$-2或$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查相似三角形的综合题、等腰三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题证明AF=DG是突破点，属于中考压轴题．