Question

9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC²=CE•CA．
（1）求证：BC=CD；
（2）分别延长AB，DC交于点P，过点A作AF⊥CD交CD的延长线于点F，若PB=OB，AF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{14}$，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）首先证明△DCE∽△ACD，推出∠CDE=∠DAC，由∠CDE=∠CAB，推出∠DAC=∠CAB，推出$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，即可证明BC=CD．
（2）作OM⊥PF于M，连接OC交BD于H．由OM∥AF，推出$\frac{OM}{AF}$=$\frac{OP}{PA}$=$\frac{2}{3}$，由AF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{14}$，推出OM=$\sqrt{14}$，由OC∥AD，推出$\frac{PC}{CD}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{2}{1}$，设CD=2a，⊙O半径为r，则PC=4a，DM=CM=a，由$\frac{PM}{MF}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{2}{1}$，推出FM=2.5a，DF=1.5a，在Rt△OPM中，4r²-25a²=14   ①，由AC²=AB²-BC²=AF²+CF²，可得4r²-4a²=（$\frac{3}{2}\sqrt{14}$）²+（3.5a）²  ②，求出a即可解决问题．

解答 （1）证明：∵DC²=CE•CA，
∴$\frac{DC}{AC}$=$\frac{CE}{CD}$，∵∠DCE=∠ACD，
∴△DCE∽△ACD，
∴∠CDE=∠DAC，
∵∠CDE=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴$\widehat{CD}$=$\widehat{CB}$，
∴BC=CD．

（2）解：作OM⊥PF于M，连接OC交BD于H．
∵AF⊥PF，
∴OM∥AF，
∴$\frac{OM}{AF}$=$\frac{OP}{PA}$=$\frac{2}{3}$，∵AF=$\frac{3}{2}$$\sqrt{14}$，
∴OM=$\sqrt{14}$，
∵$\widehat{DC}$=$\widehat{CB}$，
∴OC⊥BD，
∴DH=HB，∵OA=OB，
∴OC∥AD，
∴$\frac{PC}{CD}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{2}{1}$，
设CD=2a，⊙O半径为r，则PC=4a，DM=CM=a，
∵$\frac{PM}{MF}$=$\frac{OP}{OA}$=$\frac{2}{1}$，
∴FM=2.5a，DF=1.5a，
在Rt△OPM中，4r²-25a²=14   ①，
∵AC²=AB²-BC²=AF²+CF²，
∴4r²-4a²=（$\frac{3}{2}\sqrt{14}$）²+（3.5a）²  ②，
由①②解得a=$\sqrt{2}$，
∴CD=2a=2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用参数构建方程组，属于中考常考题型．