Question

15．古希腊的毕达哥拉斯学派由古希腊哲学家毕达哥斯拉所创立，毕达哥斯拉学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某市数量关系决定的，如他们研究各种多边形数：
记第n个k边形数N（n，k）=$\frac{k-2}{2}$n²+$\frac{4-k}{2}$n（m≥1，k≥3，k，n都为整数）
如第1个三角形数N（1，3）=$\frac{3-2}{2}$×1²+$\frac{4-3}{2}$×1=1；
第2个三角形数N（2，3）=$\frac{3-2}{2}$×2²+$\frac{4-3}{2}$×2=3；
第3个三角形数N（3，4）=$\frac{4-2}{2}$×3²+$\frac{4-4}{2}$×3=9；
第4个三角形数N（4，4）=$\frac{4-2}{2}$×4²+$\frac{4-4}{2}$×4=16
（1）N（5，3）=15，N（6，5）=51；
（2）若N（m，6）比N（m+2，4）大10，求m的值；
（3）若记y=N（6，t）-N（t，5），试求出y的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据N（n，k）的定义，求出N（5，3），N（6，5）的值即可．
（2）根据N（m，6）比N（m+2，4）大10，列出方程即可解决问题．
（3）首先根据y=N（6，t）-N（t，5），构建二次函数，然后根据二次函数的性质即可解决问题．

解答 解：（1）N（5，3）=$\frac{3-2}{2}$×5²+$\frac{4-3}{2}$×5
=12.5+2.5
=15，
N（6，5）=$\frac{5-2}{2}$×6²+$\frac{4-5}{2}$×6
=54-3
=51，
故答案为15，51．

（2）∵N（m，6）比N（m+2，4）大10，
∴$\frac{6-2}{2}$×m²+$\frac{4-6}{2}$×m-$\frac{4-2}{2}$×（m+2）²-$\frac{4-4}{2}$×（m+2）=10，
∴2m²-m-（m+2）²=10，
整理，可得
m²-5m-14=0，
解得m=7或m=-2．

（3）y=N（6，t）-N（t，5）
=$\frac{t-2}{2}$×6²+$\frac{4-t}{2}$×6-$\frac{5-2}{2}$×t²-$\frac{4-5}{2}$×t
=18t-36+12-3t-1.5t²+0.5t
=-1.5（t-$\frac{31}{6}$）²+$\frac{385}{24}$，
∵r≥1，t≥3，k，n都为整数，-1.5＜0，
∴t=5时，y有最大值，最大值为16，
∴y的最大值为16．

点评 本题考查二次函数的应用、一元二次方程的解等知识，解题的关键是理解题意，学会把问题转化为方程解决问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考常考题型．