Question

如图，已知⊙O的半径为

10

，AB=6，BD⊥弦AC于D，求sin∠CBD的值．

Answer 1

考点：垂径定理,圆周角定理,解直角三角形

专题：

分析：连接OA、OB，由于OM⊥AB，根据垂径定理易证得∠BOM=

1

2

∠AOB，而由圆周角定理可得∠C=

1

2

∠AOB=∠BOM，因此∠CBD=∠OBM，只需求得∠OBM的正弦值即可；在Rt△OBM中，由垂径定理可得BM=4，已知⊙O的半径OB=5，由勾股定理可求得OM=3，即可求出∠OBM即∠CBD得正弦值，由此得解．

解答：解：连接OA、OB；
∵OM⊥AB，
∴AM=BM=3，∠AOM=∠BOM=

1

2

∠AOB；
又∵∠C=

1

2

∠AOB，
∴∠BOM=∠BCD，∠OBM=∠CBD；
在Rt△OBM中，
∵OB=

10

，BM=3，
∴OM=

OB2-BM2

=

10-9

=1，
∴sin∠OBM=sin∠CBD=

OM

OB

=

1

10

=

10

10

．

点评：本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．