Question

8．已知：关于x的一元二次方程（k-2）x²+2x+1=0有两个实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k为正整数，且该方程的两个实根都是整数，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义以及判别式的意义得出k≠2且△=2²-4×（k-2）×1=12-4k≥0，可确定k的取值范围；
（2）由k为正整数，得出k=1或3．再根据方程（k-2）x²+2x+1=0的两个实根都为整数，得出△是完全平方数，求出k=3．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程（k-2）x²+2x+1=0有两个实根，
∴k≠2且△=2²-4×（k-2）×1=12-4k≥0，
∴k≤3且k≠2；

（2）∵k为正整数，
∴k=1或3．                               
又∵方程（k-2）x²+2x+1=0的两个实根都为整数，
当k=1时，△=12-4k=8，不是完全平方数，
∴k=1不符合题意，舍去；   
当k=3时，△=12-4k=0，原方程为x²+2x+1=0，符合题意，
∴k=3．

点评 本题主要考查了根的判别式的知识，熟知一元二次方程的根与△的关系是解答此题的关键，此题难度不大．