Question

2．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，求证：AC²=3BC²．

Answer 1

分析 延长BC到D，使CD=BC，连接AD，可证明△ACB≌△ACD，进而可以证明△ABD是等边三角形，即可得到BC的AB的关系，再利用勾股定理即可证明AC²=3BC²．

解答 证明：延长BC到D，使CD=BC，连接AD．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°．
在△ACB和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{∠ACD=∠ACB}\\{BC=DC}\end{array}\right.$
∴△ACB≌△ACD（SAS）．
∴AB=AD．
∵∠A=30°
∴∠BAC=60°．
∴△ABD为等边三角形
∴AB=AD=BD，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∴AB=2BC，
∵AC²+BC²=AB²，
∴AC²=3BC²．

点评 本题考查了勾股定理的运用以及30度角的直角三角形，根据题意构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解答．此题关键是作辅助线．