Question

7．已知关于x的方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的两个实数根的倒数和等于-$\frac{5}{2}$，求k的值．

Answer 1

分析 设方程的两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（2k+1），x₁•x₂=k²+2，根据题意得倒数和等于4．即$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{5}{2}$．再把两根关系代入即可．，然后把k=$\frac{5}{2}$或-$\frac{3}{2}$代入原方程利用判别式确定k的值．

解答 解：根据题意，得
x₁+x₂=-2k-1，x₁×x₂=k²-2．
∵$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}•{x}_{2}}$=-$\frac{5}{2}$，
∴$\frac{-2k-1}{{k}^{2}-2}$=-$\frac{5}{2}$，
解得k₁=$\frac{5}{2}$，k₂=-$\frac{3}{2}$．
当k₁=$\frac{5}{2}$，代入方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的判别式时，△＞0，
k₂=-$\frac{3}{2}$，代入方程x²+（2k+1）x+k²-2=0的判别式时，△＜0，
∴k=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的根的判别式．