Question

10．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，且AD=2厘米，BD=8厘米，求：
（1）其外接圆的半径；
（2）其内切圆的半径；
（3）若CE为直角的角平分线，求△AEC的面积．

Answer 1

分析 （1）求出斜边AB，根据外接圆的半径等于斜边的一半计算即可；
（2）求出直角边AC和BC，根据内切圆的半径$\frac{1}{2}$（直角边+直角边-斜边）计算即可；
（3）根据角平分线的性质求出AE与BE的比值，求出△AEC的面积．

解答 解：（1）∵AD=2，BD=8，
∴AB=10，
∴其外接圆的半径为5；
（2）由射影定理可知，AC²=AD•AB=20，
解得，AC=2$\sqrt{5}$，
BC²=BD•AB=80，
解得，BC=4$\sqrt{5}$，
其内切圆的半径$\frac{2\sqrt{5}+4\sqrt{5}-10}{2}$=3$\sqrt{5}$-5；
（3）∵CE为直角的角平分线，
∴$\frac{AE}{BE}$=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴△AEC的面积=$\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$2$\sqrt{5}$×$4\sqrt{5}$=$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查的是三角形的内切圆和内心、外接圆和外心的知识，掌握直角三角形的内心和外心与直角三角形的三边的关系是解题的关键．