Question

三角形中的计算：
（1）如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，∠B=30°，AB=4

3

，求CD的长．
（2）已知，如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=135°，AC=10，求AB及BC的长．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）先在Rt△ABC中利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得出AC=

1

2

AB=2

3

，再求出∠A=60°，然后解Rt△ACD，即可求出CD的长；
（2）过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D．解Rt△ACD得出CD=

1

2

AC=5，AD=5

3

，再证明△BCD是等腰直角三角形，于是BC=

2

CD=5

2

，BD=CD=5，那么AB=AD-BD=5

3

-5．

解答：解：（1）如图1，在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AB=4

3

，
∴AC=

1

2

AB=2

3

，∠A=90°-∠B=60°．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠A=60°，
∴CD=AC•sin∠A=2

3

×

3

2

=3；

（2）如图2，过点C作CD⊥AB，交AB延长线于点D．
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠A=30°，AC=10，
∴CD=

1

2

AC=5，AD=AC•cos∠A=10×

3

2

=5

3

．
∵∠BDC=90°，∠CBD=180°-∠ABC=180°-135°=45°，
∴∠BCD=∠CBD=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=

2

CD=5

2

，BD=CD=5，
∴AB=AD-BD=5

3

-5．

点评：本题考查了解直角三角形，等腰直角三角形的判定与性质，难度适中．准确作出辅助线，构造直角三角形是解决问题（2）的关键．