Question

19．如图①，将边长为2的正方形OABC如图①放置，O为原点．
（Ⅰ）若将正方形OABC绕点O逆时针旋转60°时，如图②，求点A的坐标；
（Ⅱ）如图③，若将图①中的正方形OABC绕点O逆时针旋转75°时，求点B的坐标．

Answer 1

分析 （1）过点A作x轴的垂线，垂足为D，∠ADO=90°，根据旋转角得出∠AOD=30°，进而得到AD=$\frac{1}{2}$AO=1，DO=$\sqrt{3}$，据此可得点A的坐标；
（2）连接BO，过B作BD⊥y轴于D，根据旋转角为75°，可得∠BOD=30°，根据勾股定理可得BO=2$\sqrt{2}$，再根据Rt△BOD中，BD=$\sqrt{2}$，OD=$\sqrt{6}$，可得点B的坐标．

解答 解：（1）过点A作x轴的垂线，垂足为D，∠ADO=90°，
∵旋转角为60°，
∴∠AOD=90°-60°=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$AO=1，DO=$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，1）；

（2）连接BO，过B作BD⊥y轴于D，
∵旋转角为75°，∠AOB=45°，
∴∠BOD=75°-45°=30°，
∵∠A=90°，AB=AO=2，
∴BO=2$\sqrt{2}$，
∴Rt△BOD中，BD=$\sqrt{2}$，OD=$\sqrt{6}$，
∴B（-$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$）．

点评 本题主要考查了旋转变换以及正方形的性质，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形，解题时注意：正方形的四条边都相等，四个角都是直角．