Question

14．如图，一次函数与反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点P是x轴上的一动点，试确定点P使PA+PB最小，并求出点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）将A代入反比例函数即可求出m的值．
（2）将B代入反比例函数即可求出n的值，求出点A的关于x轴的对称点坐标C，然后将BC的解析式求出，令y=0代入AC的解析式即可求出P的坐标．

解答 解：（1）将A（1，4）代入y=$\frac{m}{x}$，
∴m=4，
∴反比例函数的解析式为：y=$\frac{4}{x}$，
（2）将B（4，n）代入y=$\frac{4}{x}$，
∴n=1，
设C与A关于x轴对称，
∴C（1，-4），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
将C（1，-4）和B（4，1）代入y=kx+b，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{5}{3}}\\{b=-\frac{17}{3}}\end{array}\right.$
∴一次函数的解析式为：y=$\frac{5}{3}$x-$\frac{17}{3}$
令y=0代入y=$\frac{5}{3}$x-$\frac{17}{3}$
∴x=$\frac{17}{5}$
∴P（$\frac{17}{5}$，0）

点评 本题考查一次函数与反比例函数的综合问题，解题的关键是用代入待定系数求出m、n的值，本题属于中等题型．