Question

在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），点D为△ABC内一点，BD=BC，且∠CBD=60°．
（1）如图1，求∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）求证：AD是BC的垂直平分线；
（3）如图2，以AB为一边作等边三角形ABE，连接CE，DE，试探究AD、BD、DE之间有怎样的数量关系？

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,等边三角形的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；
（2）由BD=BC，且∠CBD=60°求得△BCD为等边三角形，然后求得△ABD≌△ACD，从而求得∠BAD=∠CAD，根据等腰三角形三线合一，即可求得．
（3））由△ABE是等边三角形，△BCD为等边三角形，可求得∠ABD=∠EBC，然后通过三角形全等，求得∠BAD=∠BEC，AD=CE，根据∠ABD=∠EBC=30°-

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2

α，∠BAD=∠BEC=

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α，求得∠BCE=150°，由于△BCD为等边三角形，从而△BCD是直角三角形，即可求得AD、BD、DE之间的数量关系．

解答：
解：（1）∵AB=AC，∠A=α，
∴∠ABC=∠ACB=

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（180°-∠A）=90°-

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α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，
即∠ABD=30°-

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α；

（2）证明：如图1，连接AD，CD，
∵BD=BC，且∠CBD=60°．
∴△BCD为等边三角形，
在△ABD与△ACD中

AB=AC AD=AD BD=CD

∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∵AB=AC，
∴AD是BC的垂直平分线；

（3）如图2，连接AD、DC、DE，
∵△ABE是等边三角形，△BCD为等边三角形，
∴∠ABE=∠DBC=60°，
∴∠ABD=∠EBC，
在△ABD与△EBC中

AB=BE ∠ABD=∠EBC BD=BC

∴△ABD≌△EBC（SAS）
∴∠BAD=∠BEC，AD=CE，
∴∠ABD=∠EBC=30°-

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α，∠BAD=∠BEC=

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α，
∴∠BCE=180°-∠EBC-∠BEC=180°-（30°-

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α）-

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α=150°，
∴∠DCE=150°-60°=90°，
∴△DCE是直角三角形，
∴CD²+CE²=DE²，
∵BD=CD，AD=CE，
∴DB²+AD²=DE²．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．